Black–Scholes 模型¶

Black–Scholes–Merton（BSM）给出一组理想化假设下欧洲期权的无套利基准价格。它最重要的用途之一，是建立“价格—波动率—风险敏感度”的共同语言，而不是宣称市场服从完美模型。

输入与符号¶

\[ d_1=\frac{\ln(S_0/K)+(r-q+\tfrac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}}, \qquad d_2=d_1-\sigma\sqrt{T} \]

\[ C=S_0e^{-qT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2) \]

\[ P=Ke^{-rT}N(-d_2)-S_0e^{-qT}N(-d_1) \]

当 \(q=0\) 时得到不支付连续股息的常见版本。同一组输入下，call 与 put 还必须满足无套利与 Put–Call Parity；这里把 parity 用作模型实现检查，不重复其通式与推导。

设 \(S_0=K=100\)、\(T=0.5\) 年、\(r=3\%\)、\(q=0\)、\(\sigma=25\%\)。代入公式：

此时 \(C-P\approx1.4888\)，而 \(S_0-Ke^{-rT}\approx1.4888\)，与 put–call parity 一致。这个检查能发现利率、时间、股息或 call/put 符号输入错误。

对价值 \(V(S,t)\)，在模型假设下：

\[ \frac{\partial V}{\partial t} +(r-q)S\frac{\partial V}{\partial S} +\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2} -rV=0 \]

直觉是：用 Delta 对冲局部标的风险后，无套利组合应获得无风险利率。标的的真实期望收益率没有出现在最终公式中；这不等于现实投资者不要求风险补偿。

BSM 不能原样解决：

市场常用每份合约自己的 IV 让模型价格匹配报价；得到的 IV 曲面恰恰说明“常数 \(\sigma\)”不符合现实。